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Jolie symétrie de chiffres PDF Imprimer Envoyer
Écrit par Administrator   
Dimanche, 28 Novembre 2010 22:21

Voici une série d'opérations assez surprenantes :

1\times 1= 1

11\times 11 = 121

111\times 111 = 12321

1111\times 1111 = 1234321

11111\times 11111 = 123454321

111111\times 111111 = 12345654321

N'est-ce pas une bien jolie symétrie ?

Mais pourquoi donc cette symétrie ce produit-elle ? Nous pouvons le voir en posant les multiplications.

 

 

Nous voyons que le décalage des 111...11 lorsqu'on pose les multiplications, crée la symétrie observée.

Démontrons maintenant de façon plus rigouseuse.

Notons que dans la démonstration qui suit, les indices utilisés sont supposés être des chiffres de 0 à 9. La symétrie observée ne se produit pas pour des nombres 111..1 de plus de chiffres.

Posons pour le nombre à n chiffres :

X_n=111..11=\sum_{k=0}^{n-1}10^k.

Nous pouvons alors écrire :

X_n^2=\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^k\right)\times\left(\sum_{l=0}^{n-1}10^l\right).

Nous effectuons alors le développement des deux facteurs de la multiplication. Il s'agit de prendre chaque terme du premier facteur, et de les distribuer sur les n du deuxième facteur de la multiplication. Nous obtenons ainsi n^2.

Ces termes sont :

X_n^2=10^0\times\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^k\right)

+10^1\times\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^k\right)

+10^2\times\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^k\right)

\ldots

+10^{n-1}\times\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^k\right).

Ce qui peut s'écrire, plus synthétiquement :

X_n^2=\sum_{l=0}^{n-1}\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^{k+l}\right)

ou encore :

X_n^2=\sum_{k+l=0(k,l\in[0,n-1])}^{2n-2}10^{k+l}

Nous pouvons décomposer la somme comme suit :

X_n^2=\sum_{k+l=0(k,l\in[0,n-1])}^{n-1}10^{k+l}+\sum_{k+l=n(k,l\in[0,n-1])}^{2n-2}10^{k+l}

Le premier terme :

\sum_{k+l=0(k,l\in[0,n-1])}^{n-1}10^{k+l}

est tel que chaque k+l peut être généré de k+l+1 façons, c'est-à-dire 0+(k+l), 1+(k+l-1), ..., (k+l)+0.

Donc, dans cette somme, nous trouvons k+l+1 termes de la forme 10^{k+l}.

C'est-à-dire :

\sum_{k+l=0(k,l\in[0,n-1])}10^{k+l}=\sum_{m=0}^{n-1}(m+1)10^m.

Observons le second terme :

\sum_{k+l=n(k,l\in[0,n-1])}^{2n-2}10^{k+l}

Nous pouvons l'écrire sous la forme suivante, obtenue par réindexation de k et l :

\sum_{k+l=n(k,l\in[0,n-1])}^{2n-2}10^{k+l}=\sum_{k+l=0(k,l\in[0,n-1])}^{n-2}10^{2n-2-(k+l)}.

Il s'ensuit, par un raisonnement équivalent au précédent, que nous trouvons k+l+1 termes de la forme 10^{2n-2-(k+l)}.

Par conséquent :

\sum_{k+l=n(k,l\in[0,n-1])}^{2n-2}10^{k+l}=\sum_{m=0}^{n-2}(m+1)10^{2n-2-m}

Nous déduisons que l'expression recherchée de X_n^2 est :

X_n^2=\sum_{m=0}^{n-1}(m+1)10^m+\sum_{m=0}^{n-2}(m+1)10^{2n-2-m}.

Ce qui démontre la propriété concernant la symétrie que nous avons observée.

CQFD

Mise à jour le Dimanche, 28 Novembre 2010 23:31
 
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