Home Jeux Généralités Addition alphabétique
Addition alphabétique PDF Imprimer Envoyer
Écrit par Administrator   
Dimanche, 12 Décembre 2010 22:54

Un des divertissements mathématiques bien connu est l'addition alphabétique.

Ce jeu consiste à décoder une addition de nombres entiers dont chaque chiffre est remplacé par une lettre de l'alphabet. A chaque chiffre correspond exactement une lettre, à chaque lettre de l'alphabet utilisée correspond un seul chiffre.

L'enjeu pour celui qui conçoit une telle devinette est d'écrire une addition qui ne possède qu'une seule solution, et dont les lettres constituent des mots de la langue choisie, et de préférence que l'assemblage de ces mots constitue une phrase ou un certain sens.

Par exemple :

Send more money

Chaque lettre représente ici un chiffre différent des autres. Le M de MORE et de MONEY, par exemple, représentent le même chiffre.

Ce genre de problème se résoud par l'application de raisonnements logiques successifs.

Commençons donc.

Les chiffres S et M ne peuvent pas être égaux à 0, puisqu'ils sont les premiers chiffres des nombres SEND, MORE et MONEY.

La somme de deux nombres de quatre chiffres ne peut pas être plus grande que 19998 = 9999 + 9999.

Donc M = 1.

Par conséquent, SEND < 10000 et MORE < 2000.

Il s'ensuit que MONEY = SEND + MORE < 12000.

Donc, le O de MONEY est inférieur à 2.

Donc le O de MONEY vaut 0 ou 1.

Or nous venons de voir que 1 est déjà attribué à M. Donc O = 0.

Donc pouvons donc reporter les résultats obtenus dans l'addition :

Par conséquent MORE < 1100.

Si SEND était plus strictement plus petit que 9000, alors nous aurions MONEY = SEND + MORE < 10100.

Par conséquent, le N de MONEY serait égal à 0. Or le chiffre 0 est déjà attribué à O.

Donc SEND > 9000. Donc, nécessairement S = 9.

Cela donne :

Nous savons que E est différent de N. Donc, dans la colonne des centaines (E + 0 = N), il y a forcément une retenue de la colonne des dizaines.

Pour la somme de deux chiffres, la seule retenue possible est 1.

Donc, N = E + 1.

Si nous reportons cette expression dans la colonne des dizaines, en remplaçant donc N par E + 1, cela conduit à différents cas de figure :

  1. E + 1 + R = E (sans retenue des unités ni des dizaines)
  2. E + 1 + R = E + 10 (sans retenue des unités, avec retenue des dizaines)
  3. E + 2 + R = E (avec retenue des unités, sans retenue des dizaines)
  4. E + 2 + R = E + 10 (avec retenue des unités, avec retenue des dizaines)

Les cas 1. et 3. ne sont pas possibles, car ils conduiraient à une valeur négative de R.

Examinons alors le cas 2. : E + 1 + R = E + 10.

Ce cas conduit à R = 9. Ce n'est pas possible car le chiffre 0 est déjà attribué à S.

Donc, le seul cas restant à examiner est le cas 4. : E + 2 + R = E + 10.

Ce cas conduit à R = 8.

Nous avons donc maintenant la situation suivante :

où nous savons que N = E + 1 et que D + E > 9 (car il génère une retenue conformément au cas 4. ci-dessus). Nous pouvons même dire que D + E > 10, car si D + E valait 10, alors Y serait égal à 0, ce qui contredirait le fait que 0 est déjà attribué à O.

Les chiffres disponibles qui nous restent sont {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Le plus grand nombre (résultant de l'addition de deux chiffres) que nous puissions générer à partir de ces chiffres est 13 = 6 + 7.

Donc, pour que D + E > 10, les seules solutions sont D + E = 11, D + E = 12 ou D + E = 13.

Cela donnerait, respectivement, Y = 1, Y = 2 ou Y = 3.

Or le chiffre 1 est déjà attribué, donc seuls Y = 2 ou Y = 3 sont possibles.

Si Y = 3, nous avons D = 6 et E = 7 ou bien D = 7 et E = 6.

Si E = 6, alors N = E + 1 = 7, ce qui contredit le fait que 7 est déjà attribué dans notre hypothèse à D.

Si E = 7, alors N = E + 1 = 8, ce qui contredit le fait que 8 est déjà attribué à R.

Donc, il n'est pas possible que Y = 3.

Par conséquent, Y = 2.

Donc D = 5 et E = 7 ou bien D = 7 et E = 5.

Nous avons vue que E = 7 n'est pas possible, car sinon nous aurions N = 8, ce qui contredirait le fait que 8 est déjà attribué à R.

Par conséquent, E = 5 et D = 7.

Nous avons donc :

Il reste à prendre en compte le fait que D = 7, et le fait que N = E + 1, donc N = 6.

D'où le résultat finalement :

CQFD

 

Mise à jour le Lundi, 13 Décembre 2010 21:25
 
Copyright © 2018 MATHpassion. Tous droits réservés.
Joomla! est un logiciel libre sous licence GNU/GPL.