Ô Pythagore PDF Imprimer Envoyer
Écrit par Administrator   
Mardi, 14 Décembre 2010 22:30

Le Théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle d'hypothénuse c, et de côtés a et b, nous avons :

c^2=a^2+b^2.

Nous allons le démontrer au moyen de découpages. Vous pouvez réaliser l'expérience vous-même au moyen d'un papier, un crayon et une paire de ciseaux.

Considérons donc un triangle rectangle d'hypothénuse c et de côtés a et b. Nous supposerons dans la suite que a < b.

Considérons maintenant le carré de côté b construit à partir du côté b du triangle. Ce carré a une surface égale à b^2.

Dessinons dans ce carré un rectangle de côtés b et a.

En découpant ce rectangle au moyen de sa diagonale, nous obtenons deux triangles rectangles de côtés a et b, et par conséquent dont l'hypothénuse est précisément c.

Dessinons de même un carré de côté a à partir du côté a du triangle rectangle d'origine. Sa surface est a^2

Dessinons dans le carré a^2 un carré plus petit de côté b-a. La démonstration suppose ici explicitement que b-a<a, c'est-à-dire que b<2a. Si ce n'était pas le cas, une adaptation de la démonstration permettrait d'arriver au même résultat.

 

Le résidu dans le carré a^2 après découpage du carré (b-a)^2 est un rectangle de côtés a et a-(b-a), et un autre rectangle de côtés a-(b-a) et b-a.

En adjoignant ces deux rectangles par leur côté de largeur a-(b-a), on obtient un rectangle unique de côtés a+b-a=b et a-(b-a).

Lorsque nous avons découpé, dans le carré b^2, un rectangle de côtés a et b, nous avons laissé un résidu constitué d'un rectangle de côtés (b-a) et b.

En accolant le rectangle précédent de côtés b-a et a-(b-a), auprès de notre dernier rectangle de côtés b-a et b, nous obtenons un grand rectangle de côtés {(b-a)+a-(b-a)=a{/tex} et b, comme illustré sur la figure précédente.

Nous pouvons alors, comme précédemment, découper le rectangle ainsi constitué, de côtés a et b en deux triangles rectangles de côtés a et b et d'hypothénuse c.

En conséquence, nous avons obtenu, au moyen de nos différents découpages, le matériel suivant :

  • 4 triangles rectangles de côtés (a,b,c)
  • 1 carré de côté b-a.

La surface totale de ces éléments découpés est égale à a^2+b^2, puisque ces éléments ont été découpés dans nos carrés de côtés a et b respectivement.

Considérons maintenant le carré de côté c construit sur l'hypothénuse du triangle (a,b,c) d'origine.

Ce carré a pour surface c^2.

Nous allons procéder au "collage" du matériel que nous avons précédemment découpé, dans ce carré c^2.

Commençons par coller les quatre triangles (a,b,c) sur les quatre côtés c du carré c^2.

Soit \alpha l'angle opposé au côté a. Soit \beta l'angle opposé au côté b dans les triangles (a,b,c). Nous savons que la somme des angles d'un triangle vaut deux angles droits. Donc :

\alpha+\beta+\frac{\pi}{2}=\pi.

Donc :

\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}.

Par conséquent, l'accolement dans chaque coin du carré de côté c, des deux triangles comme indiqué dans le schéma ci-dessous, a bien un sens.

Autrement dit, chaque coin du carré est bien "rempli" par les deux angles \alpha et \beta des triangles dans la disposition adoptée.

Nous obtenons alors la disposition suivante :

Il reste au centre une surface constituée de côtés de longueur b-a. C'est donc un carré (quadrilatère de quatre côtés égaux.)

Cette surface correspond exactement à notre carré de côté b-a, seul restant parmi les objets précédemment découpés.

Nous avons donc recouvert intégralement notre carré c^2 au moyen de l'ensemble des objets découpés, comme dans le schéma ci-dessous :

Ce qui conduit à la situation finale suivante :

Finalement, nous avons démontré que la somme des surfaces carrés construits sur les côtés a et b du triangle rectangle est égale à la surface du carré construit sur l'hypothénuse c.

Donc :

a^2+b^2=c^2.

CQFD

A noter que l'intérêt de cette démonstration est de nous éclairer sur le sens intuitif du Théorème de Pythagore.

 

 
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