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Identité remarquable PDF Imprimer Envoyer
Écrit par Administrator   
Dimanche, 19 Décembre 2010 22:42

Nous avons tous appris l'identité remarquable suivante :

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

La démonstration en est aisée, en développant le carré de l'expression de a+b.

(a+b)^2=(a+b)(a+b)

d'où :

(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2,

soit :

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

Mais il est également intéressant de regarder ce que peut signifier cette identité d'un point de vue géométrique.

La démonstration géométrique de cette identité présente l'intérêt de nous éclairer sur cette signification.

Construisons en effet un carré de côté a+b.

Nous pouvons découper dans ce carré un carré de côté a, dans le coin supérieur gauche, et un carré de côté b dans le coin inférieur droit.

Ce découpage fait apparaître, comme dans le voyons dans la figure précédente, une décomposition du carré de coté a+b en quatre éléments :

  • un carré de côté a
  • un carré de côté b
  • un rectangle de côtés a et b
  • un autre rectangle de côtés b et a.

Ces quatre éléments sont représentés ci-après :

Ces quatre éléments recouvrent exactement le carré de côté a+b.

La surface du carré de côté a+b est (a+b)^2.

La somme des surfaces de ces quatre éléments est exactement la surface du carré de côté a+b.

Or, la surface du carré de côté a est a^2.

La surface du carré de côté b est b^2.

La surface des rectangles de côtés a et b est ab.

Finalement, la somme des surfaces des quatre objets est :

a^2+b^2+ab+ab=a^2+2ab+b^2..

Donc, enfin :

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

CQFD

 

 
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