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Autre identité PDF Imprimer Envoyer
Écrit par Administrator   
Lundi, 20 Décembre 2010 08:39

Nous connaissons bien l'identité remarquable :

a^2-b^2=(a+b)(a-b).

La démonstration se fait habituellement par développement des facteurs du terme droit de l'identité :

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2,

c'est-à-dire :

(a+b)(a-b)=a^2-b^2.

N'existe-t-il pas une interprétation géométrique, permettant de démontrer et illustrer cette expression de façon élégante ?

Mais si, bien sûr !

Considérons deux carrés de côtés respectifs a et b.

Considérons en outre le rectangle de côtés a-b et a+b.

Découpons ce dernier rectangle en deux rectangles plus petits, l'un de côtés a-b et a, et l'autre de côtés a-b et b.

Considérons à nouveau nos carrés de côtés respectifs a et b, et ôtons du carré de côté a, la surface du carré de côté b. Comme la surface du carré de côté a est a^2, et que celle du carré de côté b est b^2, alors la surface de la région restant après l'opération précédente est a^2-b^2.

La surface restant est également constituée d'un rectangle de cotés a-b et a, et d'un rectangle de côtés a-b et b. Ces deux rectangles sont précisément égaux à ceux que nous avons construits précédemment en découpant le rectangle de côtés a-b et a+b.

Par conséquent, la surface résiduelle après avoir ôté le carré de côté b du carré de côté a est précisément égale à la surface du rectangle de côtés a+b et a-b.

Or :

  • La surface du carré de côté a est a^2.
  • La surface du carré de côté b est b^2.
  • La surface du rectangle de côtés a+b et a-b est (a+b)(a-b).

Nous avons donc démontré que :

a^2-b^2=(a+b)(a-b).

CQFD

 

 
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