Home Algèbre Arithmétique Un carré parfait surprenant
Un carré parfait surprenant PDF Imprimer Envoyer
Écrit par pascalal   
Samedi, 23 Avril 2011 13:35

Ecrivez côte à côte un nombre pair de fois le chiffre 1. Enlevez au nombre ainsi formé le nombre obtenu en écrivant côte à côté une série de 2, deux fois plus courte que la série précédente. Par cette soustraction, vous obtenez un carré parfait. Pourquoi ?

Le premier nombre peut s'écrire sous la forme :

10^{2n-1}+10^{2n-2}+10^{2n-3}+\ldots+10^3+10^2+10+1

- 2\times 10^{n-1}-2\times 10^{n-2}-\ldots-2\times 10-2,

ce qui s'écrit également de la façon suivante, en regroupant les termes de façon adéquate :

1+10^n-2

+10+10^{n+1}-2\times 10

+10^2+10^{n+2}-2\times 10^2

\ldots

10^{n-1}+10^{2n-1}-2\times 10^{n-1},

ou encore :

10^n-1

10(10^n-1)

10^2(10^n-1)

\ldots

10^{n-1}(10^n-1),

et en factorisant le terme commun à toutes les expressions ci-dessus, on obtient :

(10^n-1)(1+10+10^2+\ldots+10^{n-1}).

Cette dernière expression est composée de deux termes multipliés entre eux.

Le premier terme 10^n-1 s'écrit aussi 111\ldots 1\times 9, où le chiffre 1 est présent n fois.

Le second terme 1+10+10^2+\ldots+10^{n-1} s'écrit également 111\ldots 1, où le chiffre 1 est présent n fois.

Or, nous avons :

111\ldots 1\times 9\times 111\ldots 1

=(111\ldots 1)^2\times 3^2

=333\ldots 3^2,

où le nombre de chiffres 3 est n.

Par conséquent, finalement :

111111\ldots 11-222\ldots 2=333\ldots 3^2,

où l'expression comporte 2n chiffres 1, et n chiffres 2 et 3.

 

Mise à jour le Samedi, 23 Avril 2011 14:13
 
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